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超難問といわれる長野県の高校入試問題をちゃんと解いてみた。

生徒を挫折させるほどの難問ということで、話題になった長野県の高校入試の問題を解いてみました。

問題が公開されてたのはこちらの記事。

泣き出す受験生続出。超難問といわれる長野県の高校入試問題を解いてみた - 週プレNEWS


なんだ、これは? 本当に日本語なのか? いくら読んでも文意が頭に入ってこない。そのうち頭がチリチリと熱くなり、ついに脳ミソがポンと弾けてしまった。まったくわからん!

こちらの記者には日本語学校に通ってもらうとして。

『前提が多い』『但し書きが多い』という部分を除けば比較的簡単な問題です。というのも、結局のところ等速直線運動で動くボールの問題なので、図形問題と見せかけてただの1時関数なんですよ。基礎的な読解力と数学能力があれば解けるんですよね。


何故か文章が読みづらいのですが、その辺は日本語に長けた人に解明してもらうとして。順番にゆっくり解いてみます。


問題文画像
 点O,O'を中心とし、周の長さが12cmの2つの円を底面とする円柱がある。それぞれの底面の周上に点A、Bがあり、線分ABは線分OO'に平行である。点P、Qは、それぞれ点A、Bを同時に出発し、図1の矢印のように、円O、O'の周上を反対の方向に回転する。点Pは、毎秒2cmの速さで、点Qは、毎秒acmの速さで進み、ともに10秒後に止まる。ただしa>0とする。
 次の各問いに答えなさい。

(1)図2は、点Pが最初に点Aを出発してからの時間をx秒、点Pが点Aから進んだ道のりをycmとしたときの、xとyの関係を表したグラフである。ただし、6≦x≦10のときは、点Pが、点Aに戻ってきてから進んだ道のりをycmとする。
 グラフで、●は端の点をふくむことを表し、○は端の点をふくまないことを表している。
①図1で、線分APが円Oの直径となることが2回ある。図2のグラフ上で、2回目に円Oの直径となる、時間と進んだ道のりを表す点の座標を求めなさい。
②図2で、6≦x≦10のとき、yをxの式で表しなさい。

(2)線分PQが線分ABと重なってまったく一致するときは、線分PQと線分ABは平行と考えないものとする。
①a=3とし、点Qが最初に点Bを出発してからの時間をx秒、点Qが点Bに戻るまでの残りの道のりをycmとする。例えば、x=1のとき、y=9である。
(ア)0<x≦4のとき、yをxの式で表しなさい。ただし、点Qが点Bの位置にあるときはy=0とする。
(イ)点Pが最初に点Aを出発してから、4回目に線分PQと線分ABが平行になるのは、何秒後か求めなさい。
②点Pが最初に点Aを出発してから7秒後に、線分PQと線分ABが3回目に平行になるようなaの値を求めなさい。



これが問題の全文。

じゃあまずは前提条件から。

 点O,O'を中心とし、周の長さが12cmの2つの円を底面とする円柱がある。それぞれの底面の周上に点A、Bがあり、線分ABは線分OO'に平行である。点P、Qは、それぞれ点A、Bを同時に出発し、図1の矢印のように、円O、O'の周上を反対の方向に回転する。点Pは、毎秒2cmの速さで、点Qは、毎秒acmの速さで進み、ともに10秒後に止まる。ただしa>0とする。

gifアニメにするとこんな感じです。


図1


適当に作ったので面倒で途中でやめちゃいましたが。実際には『毎秒2cmの速さで点Pが移動し、10秒後に止まる』と書いてあるので、12cmの円を1周半近く回ることになります。

分かりやすく表現すると、Pさんが山手線の内回りに、Qさんが山手線の外回りに乗り、1時間20分後に駅で降りる……といった感じですかね。

ということを踏まえての問1。

(1)図2は、点Pが最初に点Aを出発してからの時間をx秒、点Pが点Aから進んだ道のりをycmとしたときの、xとyの関係を表したグラフである。ただし、6≦x≦10のときは、点Pが、点Aに戻ってきてから進んだ道のりをycmとする。
 グラフで、●は端の点をふくむことを表し、○は端の点をふくまないことを表している。


問題図2



点Pが進んだ道のりをycmとしていますが、6秒の時点でいきなりゼロに戻ってるのがポイント。前述の山手線のたとえで書きますと、『東京駅から内回りに山手線に乗って、1時間20分ぐらいで降りた場合の列車で移動した距離を表す。ただし、1周したら進んだ距離をリセットする』という感じですね。


①図1で、線分APが円Oの直径となることが2回ある。図2のグラフ上で、2回目に円Oの直径となる、時間と進んだ道のりを表す点の座標を求めなさい。
線分APが円Oの直径となることが2回ある、というのは、点Pが点Aからちょうど反対側にある場合です。つまりこの状態。

図2


点Pは2cm/秒の速さで円周12cmの円を移動します。円の直径になる場合は円を半周したとき、すなわち点Aから6cm進んだところにある場合です。

前述のグラフの図で言うと、『y = 6のときに線分APが円Oの直径になる』ってことです。

ここまでくれば簡単ですね。y = 6になるのは2回あるけど、2回目はどの座標かというと。


図3


ここです。

(1)①答え x = 9、y = 6 または(x,y) = (9,6)



②図2で、6≦x≦10のとき、yをxの式で表しなさい。

これも図を利用しましょう。

xが1増えるごとにyが2増えるので、y=2xです。しかし、yは12になってからいったんリセットしてる(ゼロに戻ってる)ので、その分をマイナスするとこうなります。

(1)②答え y=2x-12




(2)線分PQが線分ABと重なってまったく一致するときは、線分PQと線分ABは平行と考えないものとする。

線分PQと線分ABが平行、というのはこの状態ですね。で、線分PQとABが重なって一致するときは平行とみなさない。

図4



言い換えると、『PとQが同じ地点にいるときが平行』ってことですね。最初の山手線のたとえで説明すると、PさんとQさんが東京駅から山手線の外回りと内回りに乗って、同じ駅に止まったら平行。でもPさんとQさんが東京駅に止まった時は平行とは考えない、と。ただし、外回りと内回りで速度が違うというのがこの問題です。

ということを踏まえて解いてみましょう。

①a=3とし、点Qが最初に点Bを出発してからの時間をx秒、点Qが点Bに戻るまでの残りの道のりをycmとする。例えば、x=1のとき、y=9である。
点Qは時計回りに3cm/秒で、点Pは反時計回りに2cm/秒で進みます。『x=1のときy=9』というのは、1秒経ったときに1周するまでに残りの道のりは9cmってことです。


(ア)0<x≦4のとき、yをxの式で表しなさい。ただし、点Qが点Bの位置にあるときはy=0とする。

図5


グラフにするとこんな感じ。これを式にしましょう、ってことですね。もう面倒なので詳しく解説しませんよ。
(2)①(ア)答え y=-3x+12


(イ)点Pが最初に点Aを出発してから、4回目に線分PQと線分ABが平行になるのは、何秒後か求めなさい。
先ほど述べたように、『線分PQと線分ABが平行になる』というのは『PとQが同じ地点にある』ってことです。2cm/秒で反時計回りに動く点Pと、3cm/秒で時計回りに動く点Qが重なるのは何回かあります、と。

ではグラフを使って解こうとすると……。


図6


あれ!!? キリのいい数字にならない!!


(ア)の解答から予測すると「連立方程式で解けよ!!!」という出題者の強い意志が感じられますね。(数学はこういう答えへの誘導が多いのが特徴。だから大問の中の小問は序盤から順番に解いていけばいいんです)

(1)②でPの動きが、(2)①(ア)でQの動きが算出されたので、次の連立方程式を解けばいいですね。

y=2x(点P)
y=-3x+12(点Q)

(1)②で求めた点Pは6≦x≦10のときなので、6秒未満の時はy=2xとなるのがポイントです。この連立方程式を解くと

x=12/5

となります。これが1回目に平行になる点(グラフでPとQが重なる点)ですね。この問題では4回目と言ってるので、答えは次のようになります。

4x
=(12/5)*4
=48/5
=9.6

(2)①(イ)答え 48/5秒または9.6秒


②点Pが最初に点Aを出発してから7秒後に、線分PQと線分ABが3回目に平行になるようなaの値を求めなさい。
先ほどの問題はQの速度が決められていましたが、今回はQの速度を求める問題。こちらは図を考えながら順序立てて解いていった方がいいです。


図7


フリーハンドで書いたので矢印がヘロヘロですがご勘弁を。内側の矢印が7秒間で点Pが進んだ距離です。一方、外側の黒い矢印は11周してさらに2cm進んだ距離。2cmというのは点Pの向きで考えた場合の話なので、点Qの向き(点Pと逆向き)に考えると10cmです(赤い矢印部分)。

では点Qはどれぐらい進めばいいのかというと。



図8


この緑の矢印の分だけ進めばいいんです。つまり、1周と赤矢印部分。『7秒』で『1周と赤矢印部分だけ進む』速さを求めればいいんです。となると単純な時間と速さと距離の問題ですね。

x=(12+10)/7
=22/7

(2)②答え 22/7秒

ちなみにこの問題は上手くグラフが作れなかったのでグラフで答え合わせはしません。




……最後の問題は上手くグラフが作れなくてやたらと苦戦してしまいましたが。基本的に図を使わなくても解ける時間と道のりの問題です。だいたい合ってると思いますが、もしも間違ってたらコメント欄で指摘をお願いします。

というわけで解いてみましたが。解くよりも解説を作るのがすごく面倒でした。解くだけだったら順序立てて考えていけばいいのでそこまで難しくないはず。


≪ iPhoneでGmailを使って箱ボタンを押してしまったときの対処法ホームドラマ感想:ラッキーセブン ≫

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最後の問題

最後は(7,2)を通るy=-ax+24のaを求めると考えたらどうでしょう

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さいごのもんだいは
7秒で二点があわせて36cm進めばいいから、
二点の速さの合計は36/7cm毎秒よって
36/7-2=22/7cm毎秒
と僕は解きました。

数学力云々という観点ではともかく、この問題が公立高校の入試問題として適切かは甚だ疑問ですよ。
私はこの問題を現役でときましたが冷や汗ダラダラでしたよ。
人生初めての入試での緊張状態でやりなれたものと形式も難易度もまったく違う問題がほとんどですから、慌てないほうがおかしいです。
このブログの筆者さんは分別がある方のようですが、2chでは「この程度でむずかしいとかwさすがゆとり」などと筋違いなコメントが見受けられて悲しいものでした。

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